Wissenschaftliche Berichte - FZKA 5884

Finite-Volumen-Verfahren für die instationären Maxwellgleichungen

Zusammenfassung

In der vorliegenden Arbeit werden Finite-Volumen-Verfahren für die instationären Maxwellgleichungen auf randangepaßten Koordinaten entwickelt. Ausgehend vom Godunov-Verfahren erster und von MUSCL-Typ-Verfahren zweiter Ordnung werden verschiedene Ansätze zur Konstruktion solcher Verfahren in zwei Raumdimensionen und auf randangepaßten Koordinaten verglichen. Da diese Verfahren lokal die Wellenausbreitung in das numerische Verfahren mit einbeziehen, lassen sich sowohl physikalische als auch offene Ränder einfach und dabei sehr effizient modellieren. Diese Methoden werden als Teil einer Particle-in-Cell-Methode verwendet. Besonderer Wert muß daher auf die Einhaltung der Bedingungen an die Divergenz der elektromagnetischen Felder, insbesondere des Gauß'schen Gesetzes, gelegt werden, die bei der numerischen Simulation elektromagnetischer Phänomene bei Anwesenheit von Teilchen als Zwangsbedingungen eine wichtige Rolle spielen. Mit Hilfe eines Lagrangemultiplikators lassen sich die Divergenzgleichungen in das zu losende Gleichungssystem einbeziehen. Mit Hilfe einer neuartigen Modifikation dieses Systems gelingt es, daraus ein rein hyperbolisches Differentialgleichungssystem zu erhalten, das alle physikalischen Eigenschaften sinnvoll modelliert und im Rahmen des entwickelten Finite-Volumen-Verfahren effizient gelost werden kann. Numerische Ergebnisse für Testprobleme werden in jedem Kapitel vorgestellt.

Finite-Volume-Schemes for the Nonstationary Maxwell Equations

Abstract

The current PhD thesis presents a method for solving the nonstationary Maxwell equations based on a finite-volume approximation on boundary fitted coordinates.Starting with a first order Godunov scheme and second order MUSCL-type schemes different techniques for constructing such schemes in two dimensions and on boundary fitted coordinates are developed and compared. Especially, because the finite-volume methods include the characteristic properties of hyperbolic partial differential equations by construction, they lead to a simple but efficient modeling of physical boundary conditions as well as of absorbing boundary conditions. These methods are used as a part of a particle-in-cell method and hence it is necessary to enforce the achievement of the divergence conditions, especially of Gauss' law, playing an important role in particle methods as constraints on the electromagnetic fields. The divergence conditions are included in the considered equation using a Lagrangean multiplier. With a new modification of the Lagrangean system, a purely hyperbolic system is obtained so that the correction can be performed within the presented finite-volume framework. For each chapter, numerical results are presented to reveal the quality of the numerical methods.