Modelling turbulent dissipation correlations for Rayleigh-Bénard convection based on two-point correlation technique and invariant theory

Abstract

The two-point correlation technique and the invariant theory are used to study the turbulence closure for dissipation correlations in turbulent natural convection. Analytically, an equation for the dissipation rate of turbulence kinetic energy is derived. The structure of this equation is analysed by using direct numerical simulation data (DNS) of turbulent Rayleigh-Bénard convection in air and sodium and of internally heated natural convection. The local homogeneity assumption is found to hold for the two-point velocity correlations and is used to simplify the analytical equation. For the two-point temperature-velocity correlation, on the other hand, it is shown that this assumption is not valid for Rayleigh-Bénard convection.

Using the DNS data, the anisotropy of the Reynolds stresses in natural convection is quantified in the anisotropy invariant map. A new model is proposed for the sink term in the dynamic equation for the dissipation rate which is based on the invariants of the anisotropy tensor of the Reynolds stresses. A model is also proposed for the buoyancy production term, which is of special importance in pure natural convection flows. For the dissipation correlation in the equation for the turbulent heat flux a model is proposed which is consistent with that for the buoyancy production term in the dissipation equation. Both models developed do properly account for wall effects without any explicit wall corrections, but involving only the fluid Prandtl number and the ratio of turbulence thermal to mechanical time scale.

Modellierung von turbulenten Dissipationskorrelationen für Rayleigh-Bénard-Konvektion mit Hilfe der Zweipunkt-Korrelationstechnik und der Invarianten-Theorie

Zusammenfassung

In dem Bericht werden die Zweipunkt-Korrelationstechnik und die Invarianten-Theorie zur Untersuchung und Formulierung von Schließungsbeziehungen für turbulente Dissipationskorrelationen bei Naturkonvektion verwendet. Hierzu wird zunächst eine analytische Gleichung für die Dissipationsrate der kinetischen Turbulenzenergie hergeleitet. Die Bedeutung der einzelnen Terme dieser Gleichung wird anhand von Daten aus direkten numerischen Simulationen (DNS) von Rayleigh-Bénard-Konvektion in Luft und Natrium sowie von Naturkonvektion mit innerer Wärmequelle analysiert. Es wird gezeigt, daß für die Zweipunkt-Geschwindigkeitskorrelationen die Annahme lokaler Homogenität gültig ist und daher zur Vereinfachung der analytischen Gleichung verwendet werden kann. Im Gegensatz hierzu erweist sich die Zweipunkt-Temperatur-Geschwindigkeitskorrelation für Rayleigh-Bénard-Konvektion als nicht lokal homogen.

Die DNS-Daten für Naturkonvektion werden herangezogen um die Anisotropie der Reynolds-Spannungen in der Anisotropie-Invarianten-Karte zu quantifizieren. Basierend auf den Invarianten des Anisotropie-Tensors der Reynoldsspannungen wird ein Modell für den Senkenterm in der dynamischen Gleichung für die Dissipationsrate entwickelt. Ebenso wird für den Produktionsterm durch Auftriebskräfte, der bei Naturkonvektion von besonderer Bedeutung ist, ein neues Modell vorgeschlagen. Konsistent zu diesem wird ein Modell für die Dissipations-Korrelation in der Gleichung für den turbulenten Wärmestrom formuliert. Die wesentlichen Parameter der Modelle sind die Prandtl-Zahl des Fluides und das Verhältnis von thermischer zu mechanischer turbulenter Zeitskala. Beide vorgeschlagenen Modelle tragen Wandeffekten in geeigneter Weise Rechnung, ohne daß explizite Wandkorrekturen notwendig sind.