Modellierung zur Ausbreitung von Schmelzen bei gleichzeitiger Erstarrung

Zusammenfassung

Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Ausbreitung viskoser, schlecht wärmeleitender Schmelzen unter dem Einfluß erstarrender dünner Krusten. Die Arbeit gliedert sich in eine separate Betrachtung der Phänomene durch (a) Krustenbildung auf einer horizontalen Bodenplatte und durch (b) Krustenbildung an der freien Grenzfläche zwischen Schmelze und umgebendem Gas.

Basierend auf einer nichtisothermen Dünnschichtapproximation wird die Lösung von Geschwindigkeits- und Temperaturfeld für eine durch Schwer- und Reibungskräfte dominierte Ausbreitungsströmung hergeleitet. Für das Volumen der Schmelze gilt V µt^a. Typische Ausbreitungsströmungen werden durch verschiedene Exponenten a charakterisiert. Zur Lösung werden Ähnlichkeitstransformationen und alternativ numerische Verfahren verwendet.

Bei der Modellierung einer Kruste auf der Bodenplatte erfolgt die Erstarrung bei einer konstanten Erstarrungstemperatur, die Freisetzung von Latentwärme kann für die betrachteten Schmelzen vernachlässigt werden. Für schlecht wärmeleitende Schmelzen zeigt sich für kurze Zeiten lediglich ein schwacher Einfluß der Kruste auf die Ausbreitung der Schmelze. In erster Linie führt die Bodenkruste zu einer Reduzierung der antreibenden Druckdifferenz und somit zu einer Verlangsamung der Schmelze. Für große Zeiten teilt sich der Einfluß einer erstarrenden Bodenkruste in zwei Bereiche auf. Für a < 7/4 kann mit einem Anhalten der Schmelze gerechnet werden, wohingegen für a³ 7/4 mit keinen limitierenden Bedingungen für die Ausbreitung der Schmelze zu rechnen ist.

Die Modellierung einer erstarrenden Kruste an der freien Grenzfläche erfolgt entkoppelt von der Lösung des Temperaturfeldes. Für zwei verschiedene Modelle, horizontal fixierte Krusten und freischwimmende Krusten, wird der kinematische Einfluß einer erstarrten dünnen Kruste an der freien Grenzfläche untersucht. Fixierte Krusten führen zu einer Erhöhung der viskosen Reibung und verzögern die Ausbreitung wesentlich. Für freischwimmende Krusten finden sich zwei unterschiedliche Bereiche. Für a < 4/3 führt eine freischwimmende Kruste an der freien Grenzfläche zu einer leichten Verzögerung der Ausbreitung, während die Ausbreitung für a > 4/3 leicht beschleunigt wird.

Spreading of solidifying melts

Abstract

In the present report an analytical model is presented which captures the influence of thin solidified crusts onto the spreading flow of a viscous melt of poor thermal conductivity. In the report we separately discuss (a) crust formation on the horizontal bottom plate and (b) crust formation at the free interface between melt and ambient gas.

Based on nonisothermal lubrication theory we derive solutions for the velocity and temperature fields of a spreading flow in the viscous/gravitational regime. For the volume we use the general law V µt^a. Thus, typical spreading flows are characterized by the exponent a . Solutions are found either by similarity transformation or numerically by engaging the method of lines.

In the model for crusting on a horizontal bottom plate, solidification occurs at a constant solidification temperature and liberation of latent heat remains negligible for these particular melts. Bottom crusting of melts with poor thermal conductivity for short times shows a weak influence onto the spreading. With increasing crust thickness we find a retardation of the spreading, essentially caused by the reduced driving pressure head. For long times the spreading approaches a complete stop for a < 7/4. For a³ 7/4, in contrast, the influence of bottom crusting will not lead to a stop of the spreading.

Top crusting at the free interface between melt and ambient gas is modeled decoupled from the temperature field. For two models, namely fixed and free drifting crusts, the kinematic influence of the top crust onto the spreading is discussed. Fixed crusts will lead to increased viscous dissipation and subsequently result in a significant slow down of the spreading. For free drifting crusts the influence is weak. For a < 4/3 we find a retardation of the spreading flow, whereas for a > 4/3 free drifting crusts will lead to a slight acceleration of the spreading.