ABSTRACT

This work presents the implementation of the Adjoint Sensitivity Analysis Procedure (ASAP) for the non-equilibrium, non-homogeneous two-fluid model, including boron concentration and non-condensable gases, of the RELAP5/MOD3.2 code. The end-product of this implementation is the Adjoint Sensitivity Model (ASM-REL/TF), which is derived for both the differential and discretized equations underlying the two-fluid model with non-condensable(s). The consistency requirements between these two representations are also highlighted. The validation of the ASM-REL/TF has been carried out by using sample problems involving: (i) liquid-phase only, (ii) gas-phase only, and (iii) two-phase mixture (of water and steam). Thus, the "Two-Loops with Pumps" sample problem supplied with RELAP5/MOD3.2 has been used to verify the accuracy and stability of the numerical solution of the ASM-REL/TF when only the liquid-phase is present. Furthermore, the "Edwards Pipe" sample problem, also supplied with RELAP5/MOD3.2, has been used to verify the accuracy and stability of the numerical solution of the ASM-REL/TF when both (i.e., liquid and gas) phases are present. In addition, the accuracy and stability of the numerical solution of the ASM-REL/TF have been verified when only the gas-phase is present by using modified "Two-Loops with Pumps" and the "Edwards Pipe" sample problems in which the liquid and two-phase fluids, respectively, were replaced by pure steam. The results obtained for these sample problems depict typical sensitivities of junction velocities and volume-averaged pressures to perturbations in initial conditions, and indicate that the numerical solution of the ASM-REL/TF is as robust, stable, and accurate as the original RELAP5/MOD3.2 calculations. In addition, the solution of the ASM-REL/TF has been used to calculate sample sensitivities of volume-averaged pressures to variations in the pump head.

This work also illustrates the role that sensitivities of the thermodynamic properties of water play for sensitivity analysis of thermal-hydraulic codes for light-water reactors. Using the well-known ASME Steam Tables (1993), this work presents typical analytical and numerical results for sensitivities of the thermodynamic properties of water to pressure, temperature, and the numerical parameters that appear in the mathematical formulation of these properties. Particular attention is given to the very large sensitivities displayed by the specific isobaric fluid and gas heat capacities, C_pf, and C_pg, the specific fluid enthalpy, h_f, the specific gas volume, V_g, the volumetric expansion coefficient for gas, ß_g, and the isothermal coefficient for gas, k_g. The dependence of ß_g, and k_g on the most sensitive parameters turns out to be nonlinear, while the dependence of C_pf, C_pg, h_f,  on the most sensitive parameters turns out to be linear, so the respective sensitivities predict exactly the effects of variations in the respective parameters. On the other hand, the sensitivities of the specific fluid volume, V_f, the volumetric expansion coefficient for fluid, ß_f, the specific gas enthalpy, h_g, and the isothermal coefficient of compressibility for fluid, k_f, to the parameters that appear in their respective mathematical formulae are quite small. Such sensitivities are essential for ranking the respective parameters according to their importance, for assessing the effects of nonlinearities and, more generally, for performing comprehensive sensitivity/uncertainty analyses of thermal-hydraulic codes which use water substance as the working fluid.

ZUSAMMENFASSUNG

Diese Arbeit beschreibt die Implementierung der Adjungierten Sensitivitätsanalyse (Adjoint Sensitivity Analysis Procedure, ASAP) im nicht-gleichgewichtigen, nicht-homogenen Zwei-Flüssigkeiten-Modell des RELAP5/MOD3.2-Computercodes, variable Bohr-Konzentrationen sowie nicht-kondensierbare Gase mit berücksichtigt. Das Ergebnis dieser Implementierung ist das Adjungierte-Sensitivitäts-Modell (Adjoint Sensitivity Model, ASM-REL/TF), entwickelt sowohl für die Differential- als auch für die diskretisierten Gleichungen, die die Basis des Zwei-Flüssigkeiten-Modells mit nicht-kondensierbaren Komponenten bilden. Die geforderte Konsistenz zwischen diesen beiden Darstellungsarten wird ebenfalls behandelt.

Die Validierung des ASM-REL/TF wurde anhand von RELAP5/MOD3.2-Beispielaufgaben durchgeführt, die (i) nur die flüssige Phase, (ii) nur die Gas-Phase und (iii) eine zweiphasige Mischung (Wasser und Dampf) zum Gegenstand hatten. Die RELAP5/MOD3.2-Beispielaufgabe "Zwei Kreisläufe mit Pumpen" ("Two-Loops with Pumps") wurde benutzt, um die Genauigkeit und Stabilität der numerischen Lösung des ASM-REL/TF zu überprüfen, wenn nur die flüssige Phase vorhanden ist. Für den Fall, daß ein Gemisch der flüssigen und gasförmigen Phase gegeben ist, wurde in gleicher Weise die ebenfalls mit RELAP5/MOD3.2 ausgelieferte Beispielaufgabe "Edwards Pipe" für die Validierung herangezogen. Zur Überprüfung von Genauigkeit und Stabilität bei reiner Gas-Phase wurden beide Beispielaufgaben ein zweites Mal herangezogen, wobei jedoch die jeweils vorhandenen Phasen durch reinen Dampf ersetzt wurden.

Die Ergebnisse, die mit diesen Rechnungen erzielt wurden, lassen die typischen Sensitivitäten der Verbindungsgeschwindigkeiten und Volumen-gemittelten Drücke in Abhängigkeit von Störungen in den Anfangsbedingungen erkennen und zeigen, daß die numerische Lösung des ASM-REL/TF ebenso robust, stabil und genau ist wie die ursprünglichen RELAP5/MOD3.2-Berechnungen. Darüber hinaus konnte die Lösung des ASM-REL/TF dazu genutzt werden, Sensitivitäten der Volumen-gemittelten Drücke in Abhängigkeit von Variationen im Pumpen-Kopf zu berechnen.

Zusätzlich zu der eben beschriebenen Implementierung und ihrer Validierung illustriert diese Arbeit die herausragende Rolle, die die Sensitivitäten in den thermodynamischen Eigenschaften des Wassers in der Sensitivitätsanalyse der Thermohydraulik-Codes für die Berechnung von Leichtwasserreaktoren spielen. Anhand der allseits bekannten ASME Steam Tables (ASME Dampf-Tabelle, 1993), zeigt diese Arbeit typische analytische und numerische Ergebnisse für die Sensitivitäten der thermodynamischen Eigenschaften des Wassers in Abhängigkeit von Druck, Temperatur und den numerischen Parametern, die in den mathematischen Formulierungen dieser Eigenschaften auftauchen. Besondere Aufmerksamkeit ist hierbei den sehr großen Sensitivitäten gewidmet, die von den spezifischen isobaren Wärmekapazitäten von Flüssigkeit und Gas, C_pf, und C_pg, der spezifischen Flüssigkeitsenthalpie, h_f, dem spezifischen Gasvolumen, V_g, dem volumetrischen Expansionskoeffizienten für Gas, ß_g, und dem isothermen Gaskoeffizienten, k_g, an den Tag gelegt werden. Die Abhängigkeit von ß_g und k_g vom sensitivsten Parameter stellt sich als nicht-linear heraus, während sich die Abhängigkeit von C_pf, C_pg, h_f,  vom sensitivsten Parameter als linear erweist, so daß die respektiven Sensitivitäten exakt die Effekte der Variation der entsprechenden Parameter vorhersagen.

Im Gegensatz dazu erweisen sich die Sensitivitäten des spezifischen Flüssigkeitsvolumens, V_f, des volumetrischen Expansionskoeffizienten für Flüssigkeiten, ß_f, der spezifischen Gasenthalpie, h_g, und des isothermen Kompressibilitätskoeffizienten für Flüssigkeiten, k_f, in Abhängigkeit von den Parametern, die in ihrer jeweiligen mathematischen Berechnung auftauchen, als ziemlich klein.

Diese Sensitivitäten sind essentiell für die korrekte Einordnung der einzelnen Parameter gemäß ihrer jeweiligen Bedeutung für das Endergebnis, für die Bewertung der Auswirkung der Nicht-Linearitäten, und, ganz generell, für die Durchführung umfassender Sensitivitäts- und Unsicherheitsanalysen der Thermohydraulik-Codes, die auf Wasser als Arbeitsflüssigkeit basieren.