Forschungszentrum Karlsruhe - Wissenschaftliche Berichte - FZKA 6963

Eine mehrskalige Näherungslösung für die zeitabhängige Boltzmann-Transportgleichung

Bruno Merk

Zusammenfassung
Grundlage für die Simulation von Betriebstransienten und Störfällen in Kernreaktoren ist die zuverlässige Berechnung des Zeitverlaufes der nuklearen Leistung im Reaktorkern. Die nuklea-re Leistungserzeugung wird aus dem sowohl räumlich als auch zeitlich veränderlichen Neutro-nenfluss berechnet. Der Neutronenfluss wird durch die raum-, zeit-, richtungs- und energieab-hängige Boltzmanngleichung (Transportgleichung) beschrieben. Die Berechnung exakter Lö-sungen der Boltzmanngleichung ist sehr zeitintensiv, deshalb sind für die praktische Anwen-dung Näherungslösungen im Allgemeinen unumgänglich.

Ziel der Arbeit ist die Entwicklung einer effektiven mehrskaligen Näherungslösung für die Boltz-manngleichung. Im Rahmen der neu zu entwickelnden Lösung soll, im Gegensatz zu den bisher veröffentlichten Methoden, auf eine Trennung von Raum und Zeit verzichtet werden. Die effektive Näherungslösung basiert auf einer Multiple Scale Expansion des Zeitdifferentials der verschiedenen Näherungen der Boltzmanngleichung. Die Methode der Multiple Scale Expansi-on wird zur Reihenentwicklung der Zeitableitung angewendet, weil das Problem des steifen Zeitverhaltens durch standardmäßige Reihenentwicklungen nicht gelöst werden kann.

Multiple Scale Expansionslösungen werden im Rahmen dieser Arbeit für verschiedene Nähe-rungen für die Boltzmanngleichung, beginnend mit der Expansionslösung für die punktkineti-schen Gleichungen, entwickelt. Anhand der Expansionslösung für die punktkinetischen Glei-chungen wird sowohl die Anwendbarkeit als auch die Genauigkeit des Verfahrens der Multiple Scale Expansion für eine Näherungslösung mit 2 Gruppen verzögerter Neutronen getestet. Die Ergebnisse werden mit den exakten analytischen Ergebnissen für die punktkinetischen Glei-chungen verglichen, um die sehr gute Übereinstimmung zu demonstrieren. Zusätzlich wird die Anwendbarkeit der Näherungslösung mit 2 Gruppen verzögerter Neutronen als Näherung für ein System mit 6 Gruppen verzögerter Neutronen untersucht und eine Strategie zur Entwick-lung einer Lösung mit 4 Gruppen verzögerter Neutronen aufgezeigt. Eine Multiple Scale Ex-pansionslösung wird für die raum-zeitabhängige Diffusionsgleichung für eine homogenisierte Zelle und 2 Gruppen verzögerter Neutronen entwickelt. Das Ergebnis wird wiederum mit der exakten analytischen Lösung verglichen, dies führt zu guter Übereinstimmung.

In den folgenden Schritten werden Multiple Scale Expansionslösungen für die raum-zeitabhängigen P1 und P3 Transportgleichungen, ebenfalls für eine homogenisierte Zelle und 2 Gruppen verzögerter Neutronen, entwickelt. Diese mehrskaligen Lösungen werden im Ver-gleich mit der Diffusionslösung, im Bezug auf die Unterschiede in der Raum-Zeitstruktur zwi-schen der Diffusions- und der Transportlösung, analysiert. Der Effekt der zusätzlichen Differen-tialterme in den P1 und P3 Gleichungen kann sowohl in der analytischen Entwicklung als auch in der graphischen Auswertung der Differenzen zwischen der Diffusions- und der Transportlösung beobachtet werden.

Die entwickelte Lösung wird für die direkte Berechnung des Zeitverhaltens einzelner Nodes im Rahmen eines nodalen Rechencodes getestet und die Ergebnisse untersucht. Es ist offensicht-lich, dass die Unterschiede in der Qualität der Ergebnisse der Näherungslösung im Vergleich zur nodalen Referenzlösung maßgeblich von der Art der eingeführten Störung abhängen.

Zuletzt wird eine Lösungsstrategie, nutzbar für große Zeitschritte in der Berechnung des raum-zeitabhängigen Neutronenflusses, auf der Basis der Superposition der Störungen entwickelt. Diese neu entwickelte Strategie wird in einer Reihe von Testrechnungen mit einem nodalen Code verifiziert. Sie eröffnet einen neuen, effizienten Weg zur Simulation des Raum-Zeitverhaltens des Neutronenflusses in Reaktorkernen.

A Multi Scale Approximation Solution for the Time Dependent Boltzmann-Transport Equation

Abstract
The basis of all transient simulations for nuclear reactor cores is the reliable calculation of the power production. The local power distribution is generally calculated by solving the space, time, energy and angle dependent neutron transport equation known as Boltzmann equation. The computation of exact solutions of the Boltzmann equation is very time consuming. For practical numerical simulations approximated solutions are usually unavoidable.

The objective of this work is development of an effective multi scale approximation solution for the Boltzmann equation. Most of the existing methods are based on separation of space and time. The new suggested method is performed without space-time separation. This effective approximation solution is developed on the basis of an expansion for the time derivative of dif-ferent approximations to the Boltzmann equation. The method of multiple scale expansion is used for the expansion of the time derivative, because the problem of the stiff time behaviour can’t be expressed by standard expansion methods.

This multiple scale expansion is used in this work to develop approximation solutions for differ-ent approximations of the Boltzmann equation, starting from the expansion of the point kinetics equations. The resulting analytic functions are used for testing the applicability and accuracy of the multiple scale expansion method for an approximation solution with 2 delayed neutron groups. The results are tested versus the exact analytical results for the point kinetics equa-tions. Very good agreement between both solutions is obtained. The validity of the solution with 2 delayed neutron groups to approximate the behaviour of the system with 6 delayed neutron groups is demonstrated in an additional analysis. A strategy for a solution with 4 delayed neu-tron groups is described. A multiple scale expansion is performed for the space-time dependent diffusion equation for one homogenized cell with 2 delayed neutron groups. The result is once more compared with the exact analytical solution obtaining good agreement. In the next steps multiple scale expansion solutions are developed for the space-time dependent P1 and P3 transport equations for the homogenized cell and 2 delayed neutron groups. These results are analysed versus the solution for the diffusion equation emphasizing the differences in the space-time structure between the time dependent diffusion- and transport solutions. The effect of the additional derivation terms in the transport equations can be observed during the analyti-cal expansion process and in the graphical analysis of the differences between the solutions.

The developed solution is tested for direct calculation of the time behaviour of single nodes in the framework of a nodal code and the results are compared. It is evident that the nature of the inserted perturbation has major impact on the discrepancy of the results compared to the refer-ence nodal method.

Finally a solution strategy usable for big time steps is given for the space-time dependent neu-tron flux based on superposition of perturbations. This newly developed strategy is verified in a series of test calculations using a nodal code. A new efficient way for the simulation of the space-time dependent neutron flux distribution in nuclear reactor cores is given.

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