Forschungszentrum Karlsruhe - Wissenschaftliche Berichte – FZKA 7080

Adjoint Sensitivity Analysis Procedure of Markov Chains with Application on Reliability of IFMIF Accelerator-System Facilities

Iulian Balan

Abstract
The Markov chain technique and its mathematical model have been demonstrated over years to be a powerful tool to analyze the evolution and performance of physical systems. The degree level of abstraction for the physical system, the statistical data used in the mathematical model, the numerical approximations used to solve the equations, are only some sources of uncertainties in reliability results. By applying the sensitivity analysis, the influence of uncertainty data in system components to the overall behavior of the system reliability can be analyzed and the weak points in the model can be identified. Using the sensitivity results the confidence level of reliability results is obtained. Thus, new improvements or redesigning of the physical system can be performed.

This work presents the implementation of the Adjoint Sensitivity Analysis Procedure (ASAP) for the Continuous Time, Discrete Space Markov chains (CTMC), as an alternative to the other computational expensive methods. In order to develop this procedure as an end product in reliability studies, the reliability of the physical systems is analyzed using a coupled Fault-Tree – Markov chain technique, i.e. the abstraction of the physical system is performed using as the high level interface the Fault-Tree and afterwards this one is automatically converted into a Markov chain. The resulting differential equations based on the Markov chain model are solved in order to evaluate the system reliability. Further sensitivity analyses using ASAP applied to CTMC equations are performed to study the influence of uncertainties in input data to the reliability measures and to get the confidence in the final reliability results.

The methods to generate the Markov chain and the ASAP for the Markov chain equations have been implemented into the new computer code system QUEFT/MARKOMAGS/MCADJSEN for reliability and sensitivity analysis of physical systems. The validation of this code system has been carried out by using simple problems for which analytical solutions can be obtained. Typical sensitivity results show that the numerical solution using ASAP is robust, stable and accurate. The method and the code system developed during this work can be used further as an efficient and flexible tool to evaluate the sensitivities of reliability measures for any physical system analyzed using the Markov chain.

Reliability and sensitivity analyses using these methods have been performed during this work for the IFMIF Accelerator System Facilities. The reliability studies using Markov chain have been concentrated around the availability of the main subsystems of this complex physical system for a typical mission time.

The sensitivity studies for two typical responses using ASAP have been performed. The results given by ASAP with those obtained using the classical methods have been compared, showing a good agreement but with the advantage of computational time in the case of ASAP.

Adjungierte Sensitivitätsanalyseverfahren für Markovketten mit Anwendung auf Zuverlässigkeit von IFMIF Beschleuniger-System Anlagen

Zusammenfassung
Das Markovketten Verfahren und sein mathematisches Modell wurde über Jahre als ein leistungsfähiges Werkzeug benutzt, um die Entwicklung und das Verhalten physikalischer Systeme zu analysieren. Der Grad der Abstraktion des physikalischen Systems, die im mathematischen Modell verwendeten statistischen Daten, sowie die numerischen Näherungen zur Lösung der Gleichungen sind nur einige Quellen von Unsicherheit, die in den Zuverlässigkeitsresultaten enthalten sind.

Durch Verwenden der Sensitivitätsanalyse kann der Einfluss von Unsicherheitsdaten in Systembauteilen auf das Gesamtverhalten der Systemzuverlässigkeit analysiert werden und die Schwachpunkte im Modell können identifiziert werden. Mit den Ergebnissen der Sensitivitätsanalyse erhält man den Vertrauensgrad der Zuverlässigkeitsresultate. Somit können neue Verbesserungen oder Neuentwürfe des physikalischen Systems durchgeführt werden.

Diese Arbeit stellt die Implementierung der Adjungierten Sensitivitätsanalyseverfahren (Adjoint Sensitivity Analysis Procedure - ASAP) für die Continuous Time Disctrete Space Markovkette (CTMC) als eine Alternative zu anderen rechenintensiven Methoden dar. Um dieses Verfahren als Endprodukt in Zuverlässigkeitsstudien zu entwickeln, wird die Zuverlässigkeit der physikalischen Systeme mit einer gekoppelten Fehlerbaum-Markovketten Technik analysiert, d.h. die Abstraktion des physikalischen Systems erfolgt, indem als Schnittstelle der oberen Ebene ein Fehlerbaum benutzt wird, der danach automatisch in eine Markovkette umgewandelt wird. Die resultierenden Differenzialgleichungen, die auf Markovkettenmodellen basieren, werden danach gelöst, um die Systemzuverlässigkeit zu erhalten. Weitere Sensitivitätsanalysen mit ASAP, die auf die CTMC Gleichungen angewendet werden, werden genutzt, um den Einfluss von Änderungen in den Eingabedaten auf das Zuverlässigkeitsmaß zu erkennen und das Vertrauen in die abschließenden Zuverlässigkeitsresultate zu erhalten.

Die Methoden zum Erzeugen der Markovketten und der ASAP für die Markovkettengleichung sind in dem neuen Computercodesystem QUEFT/MARKOMAG-S/MCADJSEN für Zuverlässigkeit und Sensitivitätsanalyse von physikalischen Systemen eingeführt worden. Die Validierung dieses Codesystems wurde mit einfachen Problemen durchgeführt, für die es analytische Lösungen gibt. Typische Sensitivitätsresultate zeigen, dass die mit ASAP erzielten numerischen Lösungen widerstandsfähig, stabil und genau sind. Die Methode und das Codesystem, die während dieser Arbeit entwickelt wurden, können als ein leistungsfähiges und stabiles Werkzeug weiter genutzt werden, um die Sensitivität von Zuverlässigkeitsmaßen für jedes physikalische System mit Markovketten zu analysieren.

Zuverlässigkeit und Sensitivitätsanalyse sind für die IFMIF Beschleuniger-System Anlagen mit diesen Methoden während dieser Arbeit durchgeführt worden. Die Zuverlässigkeitsresultate werden um die Verfügbarkeit der Hauptuntersysteme dieses komplizierten physikalischen Systems während einer typischen Missionszeit konzentriert. Die Sensitivität Studien für zwei typische Antworten sind mit ASAP durchgeführt worden. Der Vergleich der Sensitivitätsresultate zwischen ASAP und den klassischen Methoden zeigt eine gute Übereinstimmung, aber mit dem Vorteil der Berechnungszeit im Fall von ASAP.

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