Forschungszentrum Karlsruhe - Wissenschaftliche
Berichte – FZKA 7158
A model for the turbulent diffusion of turbulent kinetic
energy in natural convection
Laltu Chandra
Abstract
The widely used standard Reynolds Averaged Navier-Stokes
models, e.g. 1-equation or 2-equation models, use the transport equation for
the turbulent kinetic energy. They are known to be problematic in describing
thermally stratified flow. In the transport equation for the turbulent kinetic
energy the turbulent diffusion term is modeled with the gradient-diffusion
approximation which is inadequate in internally heated fluid layers and
Rayleigh-Bénard convection. These flow types are explained by means of direct
numerical simulation (DNS) data. The data also include a new simulation of
internally heated fluid layers with Rayleigh number Ra = 109 and Prandtl number Pr = 7.0. This simulation is performed using the TURBIT code.
One of the possible deficiencies in the gradient-diffusion
model for the turbulent diffusion of the turbulent kinetic energy is discussed
using the direct numerical simulation data. Based on this study and the
investigations in meteorology, extended forms of the gradient diffusion model
for the turbulent diffusion are derived. For this deduction, the different
closure terms in the turbulent diffusion, namely the velocity-fluctuation
triple correlation and the velocity-pressure fluctuation correlation, are
modeled separately. Coupling of these models results in a Reynolds Averaged
Navier Stokes model for the turbulent diffusion. In this model a variable Daly
and Harlow model for the buoyancy contribution, i.e. the turbulent convection
of the heat flux, is used to derive an extended Reynolds Averaged Navier Stokes
model 1 for the turbulent diffusion. Based on an analysis of the transport
equation for the buoyancy contribution a Daly and Harlow extended model for
this term is obtained. Incorporating this extension in the model for the
turbulent diffusion gives an extended Reynolds Averaged Navier Stokes model 2
for the turbulent diffusion.
The modified or new models for the closure terms in the
turbulent diffusion are validated using the direct numerical simulation data of
internally heated fluid layers and Rayleigh-Bénard convection. The Daly and
Harlow extended model for the buoyancy contribution is also tested on both flow
types.
Also, the extended models 1 and 2 for the turbulent diffusion
are analyzed and validated using the direct numerical simulation data of
internally heated fluid layers. Their performance is also tested in
Rayleigh-Bénard convection. The model 1 shows an acceptable improvement in
comparison to the gradient-diffusion model for the turbulent diffusion in
internally heated fluid layers. In Rayleigh-Bénard convection a small
improvement is observed. The model 2 gives a slight improvement over model 1 in
certain height points in these flow types. The resulting 3-equation model
should lead to more accurate calculations for buoyant convection in fluid
layers involving both stable and unstable stratification.
Ein Modell für die
turbulente Diffusion der turbulenten kinetischen Energie bei natürlicher
Konvektion
Zusammenfassung
Reynolds gemittelte
Navier-Stokes Standardmodelle, z.B. die Ein- oder Zwei-Gleichungsmodelle,
benutzen die Transportgleichung für die turbulente kinetische Energie. Diese
Modelle sind bei der Beschreibung von thermisch geschichteter Strömung
problematisch. In dieser Transportgleichung wird der turbulente Diffusionsterm
mit der Gradienten-Diffusionsapproximation modelliert. Diese Approximation ist
für intern beheizte Fluidschichten und für Rayleigh-Bénard Konvektion
ungeeignet. Statistische Daten der Turbulenz in beiden Strömungstypen werden an
Ergebnissen aus Direkten Numerischen Simulationen analysiert. Diese Daten
beinhalten eine neue Simulation einer intern beheizten Fluidschicht mit einer
Rayleigh Zahl von Ra = 109
und einer Prandtl Zahl von Pr = 7.0.
Die Simulation wurde mit dem Rechenprogramm TURBIT durchgeführt.
Ein möglicher
Nachteil des Gradienten-Diffusionsmodells für die turbulente Diffusion der
turbulenten kinetischen Energie wird mit Hilfe von Daten aus Direkten
Numerischen Simulationen diskutiert. Basierend auf dieser Studie und
Untersuchungen in der Meteorologie werden erweiterte Formen des Gradienten-Diffusionsmodells abgeleitet. Für
die Herleitung werden die Schließungsterme der turbulenten Diffusion, nämlich
die Geschwindigkeitsfluktuations-Tripelkorrelation und die
Geschwindigkeits-Druck-Fluktuationskorrelation separat modelliert. Aus der
Kopplung beider Modelle resultiert ein Modell für die turbulente Diffusion. In
diesem wird ein variables Daly und Harlow Modell für die Auftriebseffekte, d.h.
für die turbulente Konvektion des Wärmetransportes, zur Herleitung eines
erweiterten Reynolds gemittelten Navier-Stokes Modells 1 für die turbulente
Diffusion benutzt. Basierend auf der Analyse der Transportgleichung für den
Auftriebsterm erhält man ein erweitertes Daly und Harlow Modell. Fügt man diese
Erweiterung in das Modell für die turbulente Diffusion ein, so ergibt sich ein
erweitertes Reynolds gemitteltes Navier-Stokes Modell 2.
Die modifizierten
oder neuen Modelle für die Schließungsterme in der turbulenten Diffusion werden
validiert mit Daten aus Direkten Numerischen Simulationen der intern beheizten
Fluidschicht und der Rayleigh-Bénard Konvektion. Das erweiterte Daly und Harlow
Modell für den Auftriebseffekt wird für beide Strömungstypen validiert.
Ebenso werden die
Modelle 1 und 2 für die turbulente Diffusion analysiert und an Daten aus
Direkten Numerischen Simulationen der intern beheizten Fluidschicht validiert.
Das Verhalten wird auch für die Rayleigh-Bénard Konvektion untersucht. Das
Modell 1 zeigt eine akzeptable Verbesserung im Vergleich zum
Gradienten-Diffusionsmodell für die turbulente Diffusion in der intern
beheizten Fluidschicht. Für die Rayleigh-Bénard Konvektion erhält man eine
kleine Verbesserung. Das Modell 2 hat eine geringe Verbesserung gegenüber
Modell 1 im Bereich einiger Extremwerte bei beiden Strömungstypen. Das
resultierende 3-Gleichungsmodell sollte bei praktischen Anwendungen zu
genaueren Berechnungen für natürliche Konvektion in horizontalen Fluidschichten
mit stabiler und instabiler Schichtung führen.