Forschungszentrum Karlsruhe - Wissenschaftliche Berichte - FZKA 7293

Green’s Function Method and its Application to Verification of Diffusion Models of GASFLOW Code

Z. Xu, J.R. Travis, W. Breitung

Abstract
To validate the diffusion model and the aerosol particle model of the GASFLOW computer code, theoretical solutions of advection diffusion problems are developed by using the Green’s function method. The work consists of a theory part and an application part. In the first part, the Green’s functions of one-dimensional advection diffusion problems are solved in infinite, semi-infinite and finite domains with the Dirichlet, the Neumann and/or the Robin boundary conditions. Novel and effective image systems especially for the advection diffusion problems are made to find theGreen’s functions in a semi-infinite domain. Eigenfunction method is utilized to find the Green’s functions in a bounded domain. In the case, key steps of a coordinate transform based on a concept of reversed time scale, a Laplace transform and an exponential transform are proposed to solve the Green’s functions. Then the product rule of the multi-dimensional Green’s functions is discussed in a Cartesian coordinate system. Based on the building blocks of one-dimensional Green’s functions, the multi-dimensional Green’s function solution can be constructed by applying the product rule. Green’s function tables are summarized to facilitate the application of the Green’s function. In the second part, the obtained Green’s function solutions benchmark a series of validations to the diffusion model of gas species in continuous phase and the diffusion model of discrete aerosol particles in the GASFLOW code. Perfect agreements are obtained between the GASFLOW simulations and the Green’s function solutions in case of the gas diffusion. Very good consistencies are found between the theoretical solutions of the advection diffusion equations and the numerical particle distributions in advective flows, when the drag force between the micron-sized particles and the conveying gas flow meets the Stokes’ law about resistance. This situation is corresponding to a very small Reynolds number based on the particle diameter, with a negligible inertia effect of the particles. It is concluded that, both the gas diffusion model and the discrete particle diffusion model of GASFLOW can reproduce numerically the corresponding physics successfully. The Green’s function tables containing the building blocks for multi-dimensional problems is hopefully able to facilitate the application of the Green’s function method to the future work.

Die Green-Funktion und ihre Anwendung zur Überprüfung von GASFLOW-Diffusionsmodellen

Zusammenfassung
Zur Überprüfung des vom GASFLOW-Rechenprogramm erstellten Diffusionsmodells und des Aerosolpartikelmodells werden mit Hilfe der Green-Funktion theoretische Lösungen von Advektions-/Diffusionsproblemen entwickelt. Die vorliegende Arbeit gliedert sich in einen theoretischen und einen praktischen Teil. Im ersten Teil werden die Green-Funktionen von eindimensionalen Advektions-/Diffusionsproblemen im unendlichen, quasi-unendlichen und im endlichen Bereich unter Dirichlet-, Neumannund/oder Robin-Rahmenbedingungen gelöst. Zur Bestimmung der Green-Funktionen in einem quasi-unendlichen Bereich werden insbesondere für Advektions-/Diffusionsprobleme effektive Abbildungssysteme neu entwickelt. Die Eigenfunktionsmethode wird eingesetzt, um die Green-Funktionen in einem endlichen Bereich zu ermitteln. Zur Lösung der Green-Funktionen wird eine Koordinatentransformation auf der Grundlage einer umgekehrten Zeitskala, einer Laplace-Transformation und einer exponentiellen Transformation vorgeschlagen. Anschließend wird die Produktregel der mehrdimensionalen Green-Funktionen in einem kartesischen Koordinatensystem diskutiert. Mit Hilfe der Produktregel lässt sich die Lösung der mehrdimensionalen Green-Funktion aus den Bestandteilen der eindimensionalen Green-Funktionen ableiten. Die Green-Funktionstabellen werden zusammengefasst, um die Anwendung der Green-Funktion zu erleichtern. Im zweiten Teil der Arbeit werden die ermittelten Lösungen der Green-Funktion zur Validierung des in GASFLOW erstellten Diffusionsmodells für Gase in einer kontinuierlichen Phase und des Diffusionsmodells für diskrete Aerosolpartikel eingesetzt. Für die Gasdiffusion zeigen die GASFLOW-Simulationen eine perfekte Übereinstimmung mit den Lösungen der Green-Funktion. Sehr gute Übereinstimmungen finden sich ebenfalls zwischen den theoretischen Lösungen der Advektions-/Diffusionsgleichungen und den numerischen Partikelverteilungen in advektiven Strömungen, sofern die Zugkraft zwischen den Partikeln im Mikronbereich und der Gasströmung das Widerstandsgesetz von Stokes erfüllt. Dieser Fall entspricht einer sehr kleinen Reynoldszahl bezogen auf den Partikeldurchmesser, mit einem vernachlässigbaren Trägheitseffekt auf die Partikel. Es zeigt sich, dass sowohl das Gasdiffusionsmodell als auch das diskrete Partikeldiffusionsmodell in GASFLOW die entsprechende Physik hervorragend numerisch modellieren. Somit sollten die Green-Funktionstabellen mit den Bestandteilen für mehrdimensionale Probleme die Anwendung der Green-Funktion in Zukunft erleichtern.

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